Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается путём умножения предыдущего члена на постоянный множитель. В данной задаче нам необходимо найти сумму бесконечной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25.
Для того чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии. Данная формула имеет вид:
S = a / (1 - r), где S - сумма, a - первый член прогрессии, r - масштабное отношение прогрессии.
Подставляя в наш случай значения, получим:
S = 25 / (1 - 1/5).
Делая простые вычисления, получим значение суммы:
S = 25 / (4/5).
Итак, сумма бесконечной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25 равна 125.
Определение бесконечной геометрической прогрессии
Бесконечная ГП обозначается формулой:
a, ar, ar^2, ar^3, ..., ar^n, ...,
где:
- a - начальный член прогрессии;
- r - масштабное отношение.
Для того чтобы бесконечная ГП существовала, масштабное отношение r должно быть между -1 и 1 (включительно). Если значение r больше 1 или меньше -1, то прогрессия растет или убывает бесконечно.
Сумма бесконечной ГП рассчитывается с помощью формулы:
S = a / (1 - r),
где S - сумма бесконечной ГП.
Зная начальный член прогрессии и масштабное отношение, можно вычислить сумму бесконечной ГП и определить, сходится она к конечному числу или расходится.
| Пример | Начальный член (a) | Масштабное отношение (r) | Сумма ГП (S) |
|---|---|---|---|
| Пример 1 | 25 | 1/5 | 125/4 |
| Пример 2 | 100 | -1/2 | 200 |
| Пример 3 | 5 | 2 | не существует |
В примере 1 начальный член прогрессии равен 25, а масштабное отношение равно 1/5. Подставляя эти значения в формулу, получаем сумму ГП равную 125/4.
В примере 2 начальный член прогрессии равен 100, а масштабное отношение равно -1/2. Подставляя эти значения в формулу, получаем сумму ГП равную 200.
В примере 3 начальный член прогрессии равен 5, а масштабное отношение равно 2. В данном случае сумма ГП не существует, так как значение масштабного отношения больше 1.
Понятие и свойства геометрической прогрессии
Общий член геометрической прогрессии можно найти по формуле:
an = a1 * q(n-1)
где:
- an - значение n-го члена прогрессии
- a1 - начальный член прогрессии
- q - масштабное отношение или знаменатель прогрессии
- n - порядковый номер члена прогрессии
Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:
S = a1 / (1 - q)
где:
- S - сумма бесконечной прогрессии
- a1 - начальный член прогрессии
- q - масштабное отношение или знаменатель прогрессии
В нашем случае с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25, общий член прогрессии будет иметь вид:
an = 25 * (1/5)(n-1)
Нахождение суммы бесконечной геометрической прогрессии
Формула для нахождения суммы бесконечной геометрической прогрессии задается следующим образом:
S = a / (1 - r)
где S - сумма прогрессии, a - начальный член прогрессии, r - масштабное отношение.
В случае, когда масштабное отношение |r| < 1, сумма бесконечной геометрической прогрессии является конечным числом. Если |r| ≥ 1, сумма не существует.
Для примера, рассмотрим случай, когда начальный член прогрессии равен 25, а масштабное отношение равно 1/5:
Подставляя значения в формулу, получим:
S = 25 / (1 - 1/5)
S = 25 / (4/5)
S = 25 × (5/4)
S = 125/4
Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25 равна 125/4.
Формула для расчета суммы бесконечной геометрической прогрессии
Сумма бесконечной геометрической прогрессии может быть рассчитана с использованием специальной формулы. Для примера рассмотрим геометрическую прогрессию с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25.
Формула для расчета суммы бесконечной геометрической прогрессии выглядит следующим образом:
| Сумма: | S = a / (1 - r) |
|---|
Где:
- S - сумма бесконечной геометрической прогрессии
- a - первый член прогрессии
- r - масштабное отношение прогрессии
В данном примере, начальный член прогрессии a равен 25, а масштабное отношение r равно 1/5. Подставляя эти значения в формулу, мы получаем:
| Сумма: | S = 25 / (1 - 1/5) |
|---|
Выполняя вычисления получаем:
| Сумма: | S = 25 / (4/5) |
|---|---|
| S = 25 * (5/4) | |
| S = 31.25 |
Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25 равна 31.25.
Пример: сумма бесконечной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25
Для данной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25, мы можем вычислить сумму бесконечной прогрессии, используя формулу:
S = a / (1 - r)
где S - сумма прогрессии, a - начальный член, r - масштабное отношение.
Подставляя значения в формулу, мы получаем:
S = 25 / (1 - 1/5)
Расчитаем:
- Знаменатель прогрессии: 1 - 1/5 = 4/5
- Сумма прогрессии: 25 / (4/5) = 25 * (5/4) = 6,25
Таким образом, сумма бесконечной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25 равна 6,25.
Первый шаг: вычисление частного геометрической прогрессии
Для расчета суммы бесконечной геометрической прогрессии с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25, первым шагом необходимо вычислить частное прогрессии. Частное прогрессии представляет собой отношение двух последовательных членов прогрессии.
Для данной прогрессии:
- Начальный член (a1) равен 25.
- Масштабное отношение (r) равно 1/5.
Формула для вычисления частного прогрессии:
Частное (q) = a2 / a1 = r
Подставляя значения из данной геометрической прогрессии:
q = a2 / 25 = 1/5
Домножая обе части равенства на 25, получаем:
a2 = 25 * 1/5 = 5
Таким образом, в данной геометрической прогрессии второй член (a2) равен 5.
Второй шаг: применение формулы для расчета суммы геометрической прогрессии
После того, как мы нашли первый шаг и масштабное отношение нашей геометрической прогрессии, мы можем перейти к рассчету суммы данной прогрессии. Для этого используется специальная формула:
Sn = a1 * (1 - qn) / (1 - q)
Где:
- Sn - сумма первых n членов геометрической прогрессии
- a1 - первый член геометрической прогрессии
- q - масштабное отношение геометрической прогрессии
В нашем случае, первый член a1 равен 25, а масштабное отношение q равно 1/5. Мы также знаем, что нам нужно найти сумму бесконечной прогрессии, то есть значение n стремится к бесконечности. В этом случае, формула для суммы геометрической прогрессии принимает другой вид:
S = a1 / (1 - q)
Подставляя известные значения, мы получаем:
S = 25 / (1 - 1/5)
Важность использования геометрической прогрессии в математике и реальном мире
Геометрическая прогрессия является последовательностью чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое масштабным отношением.
В математике геометрическая прогрессия используется для решения различных задач. С ее помощью можно находить сумму бесконечной прогрессии и описывать законы прироста или убывания в экономике, физике и других науках.
Рассмотрим пример: если у нас имеется геометрическая прогрессия с масштабным отношением 1/5 и начальным членом 25, то мы можем использовать формулу для нахождения суммы данной прогрессии. В данном случае сумма будет равна 125/4 или 31.25.
Также геометрическая прогрессия широко применяется в финансовой математике, особенно при расчете сложных процентов и аннуитетов. Знание этого понятия позволяет описывать долгосрочные финансовые процессы, анализировать инвестиции и производить прогнозирование эффективности различных финансовых операций.
В реальном мире геометрическая прогрессия найти свое применение в различных областях. Например, она помогает описывать рост населения, увеличение числа инфекций во время эпидемии, распространение сигнала в телекоммуникационных системах и т.д.
Таким образом, использование геометрической прогрессии имеет большое значение в математике и широкий спектр применения в реальном мире. Оно позволяет анализировать и предсказывать процессы с экспоненциальным ростом или убыванием, а также способствует эффективной работе в различных областях знаний.