Первое доказательство рассматривает метод от противного. Предположим, что корень из 2 является рациональным числом и может быть представлен в виде дроби p/q, где p и q являются целыми числами и не имеют общих делителей. Возведем это предположение в квадрат и получим уравнение 2 = (p/q)^2.
Умножим обе части уравнения на q^2 и получим 2*q^2 = p^2. Таким образом, мы получаем, что p^2 является четным числом. В этом случае p также должно быть четным числом, так как квадрат нечетного числа всегда является нечетным числом. Представим p в виде 2k, где k является целым числом.
Теперь вспомним, что 2*q^2 = p^2, и подставим значение для p. Получим 2*q^2 = (2k)^2 = 4k^2. Делим обе части уравнения на 2 и получаем q^2 = 2k^2. Таким образом, мы получили, что q^2 также является четным числом, что противоречит нашему предположению, что p и q не имеют общих делителей. Следовательно, корень из 2 не может быть представлен в виде рационального числа.
Доказательство рациональности
Пусть предположим, что корень из 2 является рациональным числом и может быть представлен в виде дроби вида a / b, где a и b – целые числа без общих делителей и b не равно 0.
Тогда мы можем записать уравнение:
√2 = a / b
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
2 = (a / b)²
Упростим полученное уравнение:
2b² = a²
Заметим, что левая часть уравнения – четное число, а правая часть – нечетное число. Это противоречие, так как равенство четного числа и нечетного числа невозможно.
Это доказательство было предложено Пифагором и является одним из наиболее известных примеров доказательства иррациональности числа.
Корень из 2
Доказательство рациональности или иррациональности числа основано на его представлении в виде десятичной дроби или дроби. Для корня из 2 это представление такого типа невозможно. Давайте рассмотрим простое доказательство:
| Пусть √2 = p/q. | (где p/q – несократимая обыкновенная дробь) | |
| Тогда 2 = p²/q². | (возведение в квадрат обеих сторон) | |
| Следовательно, p² = 2q². | (умножение обеих сторон на q²) |
Теперь мы можем сказать, что число p² – четное число, так как оно является удвоенным числом. Следовательно, p также является четным числом, и мы можем записать его как 2k (где k – целое число). Заменим p вначале путем его представления в виде 2k:
| 2k² = 2q². |
| 2k² — 2q² = 0. |
| 2 (k² — q²) = 0. |
| k² — q² = 0. |
| (k — q)(k + q) = 0. |
Таким образом, мы доказали, что корень из 2 является иррациональным числом, которое невозможно представить в виде десятичной дроби или дроби.